根号下1+x的平方的泰勒展开式,详细过程怎么求?

诶,这个问题稍微东西啊脑筋就出来了吧。。。根据Taylor展開式
,为简单起见,收敛域与α的取值等便不做讨论,望谅解。
此处,置z於x²,α於1/2,亦为
.
証明終了.
P.S. 以下是对于有些人不迷惑于为什么x^2不求导,以至于认为我答案错误进行的defence的数学实验。
版本:mathematica11.3,其中,in为输入,out为输出
以下为所使用的,各函数对应的document文档的解释:
级数Series将sqrt(1+x^2)在零点处展开成级数所用到的函数指令Series列表 Table(最开始用的table+total(加总)适用的数值计算函数,后来一想,转用的理论上使用的sum)Table[f[k],{k,min,max,d}]:生成一个形如{f(k)
min<=k<=max,步距为d}的表格(不写min和步距时,将其默认为1),其中f(·)为表格每一项元素,代入对应k后的表达式(函数法则)求和Sum/ (esc+sum+esc) :理论求和、符号求和、形式和大致意思是,给出一个表达式,比如f(x;t), 给出一个求和范围,例如min=1, max= , 给出步距dx=1, (min,dx,不写时默认为1), 对x求和,t为参数。求和: 的函数.
以下是例子:

二项式系数:Binomial[n,m]给出一个形如 (亦作 )的二项式系数。特别地,当n为复数z,m为非负整数k时,有
.
所以,这里in[9]里给出了 用我们的方法展开后,再返回去的一个计算机验证。
(in[2]~in[5]的缺失,是我用sum的形式求和、代替了table+total函数的数值求和,觉得数值那一套放在这里不是很美,然后删去造成的。(虽然使用符号求和计算速度变慢了,但计算语言的本身的形式很美)

当然,若有人怀疑mathematica给出的计算结果是错误的。那我也就没有办法了23333

字丑,凑合看吧。。。

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