来自台湾的奥数题,解法非常巧妙,不看太可惜了(19年8月13日)

家长是孩子最好的老师,这是奥数君第935天给出奥数题讲解。
今天的题目是综合应用题,来自台湾的一次数学竞赛,解题所用知识不超过小学4年级。
题目(4星难度):某正方形棋盘由99行99列的小正方格组成。对棋盘上的所有顶点染色,将大正方形的4个顶点中的1个染成红色,另外3个染成黑色,将棋盘上的其余交点随机染成红色或黑色。问所有小正方格中,有3个顶点同色的小正方格是奇数个还是偶数个?
辅导方法:将题目写给小朋友,让他自行思考解答,若20分钟仍然没有思路,再由家长进行提示性讲解。
讲解思路:这道题属于组合问题,题目中的问题是关于奇偶数,但原题中是染色,不能直接利用数字,故自然想到赋值法,把红色的顶点赋值为0,把黑色的顶点赋值为1,把每个小方格赋值为4个顶点值相加。
总的解题思路是:先考虑棋盘上所有小方格的赋值之和,再考虑不同类型小方格的赋值,最后根据奇偶性得到答案。
步骤1:先思考第一个问题,棋盘上所有小方格的赋值之和是奇是偶?由于每个小方格赋值为4个顶点值相加,故考虑各顶点对应小方格的个数。对大正方形的4个顶点来说,每个顶点都只是1个小方格的顶点,而这4个顶点中有1红3黑,故这4个顶点的赋值之和是3;对棋盘其余的交点来说,要么是2个小方格的顶点,要么是4个小方格的顶点,不管是染成红色还是黑色,这部分顶点的赋值之和都是偶数。所有小方格的赋值之和,就等于上述两部分的赋值相加。注意到3是奇数,因此所有小方格的赋值之和是奇数。
步骤2:再思考第二个问题,再考虑不同类型小方格的赋值。从顶点颜色的角度来看,小方格可以分成3种类型:第一种是4个顶点同色,这种小方格赋值一定是偶数;第二种是3个顶点同色,这种小方格赋值不是1就是3,其赋值一定是奇数;第三种是2个顶点同色,这种小方格赋值是偶数2。
步骤3:综合上述几个问题,考虑原题目的答案。对步骤2中的三种小方格来说,第一、三种小方格不管有多少个,其赋值之和一定是偶数;第二种小方格的赋值之和的奇偶性,与该种小方格的个数有关。由于所有小方格的赋值之和,等于步骤2中三种小方格赋值之和,根据步骤1的结论,所有小方格赋值之和是奇数,由于只有奇数乘以奇数才是奇数,因此第二种小方格的个数也是奇数,所以有3个顶点同色的小方格是奇数个。
思考题(3星难度):原题目换个条件。某正方形棋盘由99行99列的小正方格组成。对棋盘上的所有顶点染色,将大正方形的4个顶点中的2个染成红色,另外2个染成黑色,将棋盘上的其余交点随机染成红色或黑色。问所有小正方格中,有3个顶点同色的小正方格是奇数个还是偶数个?
获得思考题答案方法:
关注微信公众号“每天3道奥数题”(tiantianaoshu),微信回复“20190813”可获得思考题答案。注:过4个月之后,关键词回复可能失效。

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